Prečo dva plus dva je päť?

29. aug. 2018 • Matematické vedy

Prečo dva plus dva je päť?

Jedna z prednášok 16. ročníka Detskej Univerzity Komenského (DUK) bola zameraná na matematiku. Prof. RNDr. Daniel Ševčovič, DrSc., z Fakulty matematiky, fyziky a informatiky UK jej dal názov: „Prečo 2 + 2 je 5?“ s podtitulom „Alebo kde by matematici nemali robiť chyby?“ Vedec to vysvetlil tým, že pokiaľ si matematik nedá dostatočne pozor, môže dospieť k tvrdeniu, ktoré je zjavne neplatné.

Krátko z histórie
Od 16. storočia sa rovnica 2 + 2 = 4 používala ako príklad zjavnej pravdy, o ktorej nemusíme pochybovať. V roku 1641 René Descartes však upozornil, že „tak samozrejmá myšlienka, ako že dva plus dva sú štyri, nemusí mať žiadnu realitu mimo ľudskej mysli."

Prečo vlastne 2 + 2 sú 4? Matematik odpovie, že je to jednoduchý dôsledok definovania pojmu čísla n a matematickej operácie sčitovania.

V 19. storočí matematici Richard Dedekind a Giuseppe Peano položili základ aritmetiky, keď zaviedli prirodzené čísla nasledovne: Číslo 0 je prázdna množina, t. j. 0 = ∅, a ďalej číslo 1 je jednoprvková množina, napr. 1 = {0}. Ak poznáme, čo znamená prirodzené číslo n, tak jeho nasledovník, teda číslo n + 1 je definované ako n + 1 = {0, 1, 2, ···, n}. Teda, napr. 2 = {0, 1}, 3 = {0, 1, 2}, atď. Preto 2 + 2 = (2 + 1) + 1 = 3 + 1 = 4 a nie 5.

Ako môže niekto dospieť k tomu, že 2 + 2 = 5? Prof. Ševčovič upozornil, že treba si dať pozor na to, aby sme s pojmami pracovali korektne. Problém môže nastať pri práci s nekonečnými veličinami alebo s nekonečnými súčtami.

Prof. RNDr. Daniel Ševčovič, DrSc., prednášal na DUK 2018

Prof. RNDr. Daniel Ševčovič, DrSc., z FMFI UK v Bratislave

Grécka legenda: Príbeh o závode Achillea a korytnačky

Grécky hrdina Achilleus súťaží s korytnačkou v bežeckých pretekoch. Korytnačka však beží 10 krát pomalšie ako Achilleus. On jej však dáva náskok 10 metrov. Kedy a kde Achilleus predbehne korytnačku? Otázka súvisí so Zenónovym paradoxom a metódou dôkazu sporom (reductio ad absurdum). Odpoveď gréckeho filozofa Zenóna je: Nikdy! Lebo: kým Achilleus odbehne 10 metrov, korytnačka prejde 1 meter, kým on prebehne 1 meter, ona prejde 0,1 metra, atď. až do nekonečna.

Aké je riešenie Zenónovho paradoxu?

Tkvie vo vyjasnení Zenónovej filozofickej otázky, či je možná nekonečná deliteľnosť časových okamihov a uvažovaní o pohybe a zároveň nepohybe v danom bode časopriestoru. Podobne, ako je to v paradoxe letiaceho šípu a iných Zenónovych paradoxov a apórií. 

Kedy nekonečné súčty radov sú konečné?

Bernhard Riemann a Augustin Cauchy v 19. storočí našli podmienky, na základe ktorých nekonečné súčty sú konečné čísla a kedy je možné tieto súčty ľubovoľne prerovnať (uzátvorkovať, poprehadzovať poradie). A tak súčet geometrického radu sa rovná zlomku q/(1-q) len ak - 1<q<1! Inak totiž môžeme dospieť k viacerým nezmyslom. Kam až môže viesť nesprávne použitie matematických úprav, prof. Ševčovič demonštroval na niekoľkých konkrétnych príkladoch.

Účastníci prednášky prof. Daniela Ševčoviča na DUK 2018

To, že podceňovanie súčtu geometrickej postupnosti môže vážne ohroziť matematickú hrdosť, ale i majetkové pomery, prof. Ševčovič objasnil na historke, ktorá sa viaže k objaveniu šachu. Keď sa nadšený vládca vynálezcu tejto kráľovskej hry spýtal, akú odmenu si želá za jej vynájdenie, vynaliezavý autor si naoko skromne zapýtal len toľko zrniek ryže, čo sa vojde na šachovnicu 8 x 8, pričom na prvom políčku si vystačí len s jedným zrnkom, na ďalšom políčku by uvítal zrnká dve, na nasledujúcom štyri atď., t. j. žiadal, aby počet zrniek na každom políčku predstavoval dvojnásobok množstva zrniek predošlého políčka. Zdanlivo nenáročná prosba by však vládcu vyšla veľmi draho. Vynálezca si totiž v skutočnosti pýtal toľko zrniek, ktoré by pokryli celú zemeguľu súvislou takmer centimetrovou vrstvou ryže.

V závere prednášky zdôraznil, že matematika je rigorózna (presná) disciplína, v ktorej sa nemôžu súčasne dať dokázať dve protirečiace si tvrdenia. Ako povedal grécky filozof Aristoteles: Príslušné tvrdenie je buď pravdivé alebo nepravdivé, neexistuje žiadna tretia možnosť (Tertium non datur).

Prof. RNDr. Daniel Ševčovič, DrSc.Prof. RNDr. Daniel Ševčovič, DrSc., sa narodil v roku 1965 v Trenčíne. Po absolvovaní štúdia na Gymnáziu Ľ. Štúra v Trenčíne so zameraním na prírodné vedy pokračoval vo vysokoškolskom štúdiu na Matematicko-fyzikálnej fakulte Univerzity Komenského v Bratislave. Počas štúdia sa venoval matematickej analýze a algebre, neskôr sa za meral na aplikovanú matematiku a využitie diferenciálnych rovníc pri modelovaní prírodných javov a inžinierskych problémov. Od skončenia vysokoškolského štúdia pôsobí na Fakulte matematiky, fyziky a informatiky UK v Bratislave. Absolvoval niekoľko zahraničných študijných pobytov (University of Pittsburgh, Carnegie Mellon University a ďalších), neskôr pôsobil ako hosťujúci profesor na Karlovej Univerzite, ČVUT v Prahe, Masarikovej Univerzite v Brne, Univerzite v Lisabone, Hirotsubashi Univerzite v Tokyu a ďalších. Vo výskume sa zameriava na aplikácie diferenciálnych rovníc v finančnej matematike, biomatematike a inžinierskej matematike. Ako autor a spoluautor napísal päť kníh a učebníc a viac ako 90 vedeckých článkov. Je vedúcim Katedry aplikovanej matematiky a štatistiky a garantuje študijný program Ekonomicko-finančná matematika a modelovanie.

 

Spracovala a uverejnila: Marta Bartošovičová, NCP VaT pri CVTI SR

Zdroj:

http://www.dukonline.sk/2018_prednaska_5

Aktualita UK v Bratislave

Foto: Divadlo Aréna a z archívu prof. Daniela Ševčoviča

Hore
Publikácie Veda v CENTRE
Aurelium - centrum vedy
CVTI SR 80. výročie
Veda v Centre
Prechod VK na VND - jeseň
Geosyntetika 2019
kúpa časopisov jún 2016
Bratislavská vedecká cukráreň
Atmosféra počas TVT 2018
QUARK
TVT 2018 články
TAG Spektrum vedy
TAG Rozhovor
TAG Publikácia
TAG Zaujímavosti vo vede
TAG Centrum vedy
TAG Mládež
TAG QUARK
TAG Ženy vo vede
TAG Slovenská veda
TAG História
banner záhrady
Zaujímavosti vo vede
Parazitárne zoonotické ochorenia alebo zoonózy sa prenášajú zo zvierat na človeka rôzne.
Zistite viac